3x + 1

Prendete un intero positivo, se è pari dimezzatelo, se è dispari moltiplicatelo per 3 e aggiungete 1.

Un gioco semplice, secondo la congettura di Collatz qualsiasi sia l’intero positivo alla fine otterrete 1. Se si applica quanto sopra a 1, si finisce in un loop 1, 4, 2, 1.

Ma è una congettura perché nessuno è ancora stato in grado di provarla.

Addirittura secondo Paul Erdős la matematica non sarebbe ancora matura per questo genere di prove.

Sebbene assolutamente irrilevante dal punto di vista matematico, per via sperimentale si è visto che gli interi fino a 2⁶⁸ (circa uguale a 10^20,5) convergono verso il loop 4, 2, 1 e i test sono ancora in corso.

Ma, per quanto grande, 2⁶⁸ è insignificante rispetto all’insieme infinito dei numeri interi positivi e comunque ci potrebbe essere (ad esempio) il numero 2⁶⁸+1 che non converge a 1.

Se un numero non convergesse a 1 potrebbe o convergere verso un altro loop oppure andare all’infinito, ma nessuno ha ancora trovato un intero positivo che mostra questo comportamento.

Alcuni matematici come Alex Kontorovich sono interessati alla ricerca di una dimostrazione, ma fin’ora senza alcun risultato; potrebbe anche bastare dimostrare l’esistenza di una controprova (ovvero di un singolo numero che non converge verso 4, 2, 1) per chiudere la questione, ma fin’ora dimostrazione e controprova sono molto elusive.

La congettura di Collatz è nota anche sotto altri nomi tra cui algoritmo di Hasse, problema di Syracuse (Syracuse, NY non traducetelo in Siracusa), problema di Ulam e problema di Kakutani.

Per chi volesse approfondire, Veritasium ha prodotto un ottimo video su questo tema.