Fogli e radice di due

C’è un filo importante che lega i fogli di carta formato ISO 216 A e la radice quadrata di due (d’ora in poi rappresentata qui con √2). 

Premessa: in questo articolo i valori sono sempre arrotondati, anche se non viene detto esplicitamente.

Sappiamo (o dovreste sapere) che i fogli in formato ISO 216 A hanno la caratteristica che, se piegati a metà lungo il lato di lunghezza maggiore, si ottiene il foglio inferiore della serie.

Prendiamo ad esempio l’A4 le cui dimensioni sono 210 x 297 millimetri, se lo pieghiamo lungo il lato maggiore avremo (297 / 2) x 210 ovvero 148 x 210, le misure del foglio A5.

Questa caratteristica fa sì che sia possibile ridurre o ingrandire facilmente in scala uniforme il contenuto di un foglio della serie A in un altro.

Ma chi ha scelto queste dimensioni?

Innanzi tutto si è deciso che A0 dovesse avere un’area di esattamente un merto quadrato. Questo è il punto di partenza fisso.

Poi, per avere la possibilità di ridurre o ingrandire in maniera uniforme i fogli tra loro dobbiamo avere un rettangolo con i lati a e b tali per cui il lato lungo (a) di un foglio viene diviso per due nel foglio successivo per mantenere le proporzioni:

a / b = b / (a / 2)

forse per alcuni l’uguaglanza sopra è più chiara scritta come proporzione:

a : b = b : (a / 2)

Moltiplicando entrambi i lati per a si ottiene

a² / b = b / (1 / 2)

Quindi moltiplicando entrambi i lati per b si ottiene

a² = b² / (1 / 2)

ovvero

a² = 2b²

dividendo per b²

a² / b² = 2

estraendo la radice quadrata si ottiene

a / b = √2                   (1)

da cui concludiamo che per soddisfare la richiesta iniziale il rapporto tra i due lati del rettangolo deve essere √2

Calcoliamo ora le misure dei lati del foglio A0, partendo dalla (1) e dal fatto che l’area è di un metro quadrato, che in millimetri quadrati fa 1.000.000.

Sempre dalla (1) otteniamo che il lato a è

a = √2 b

quindi calcoliamo l’area del rettangolo moltiplicando a e b

area = (√2 b) b

ovvero

area = √2 b²

applichiamo quindi il valore dell’area

1.000.000 = √2 b²

da cui

b² = 1.000.000 / √2

assegnamo un valore arrotondato a √2

b² = 1.000.000 / 1,414

b² = 707.213

estraiamo la radice quadrata

b = 841

Nota l’area e la misura di un lato, si ottiene la misura dell’altro lato invertendo la formula di calcolo dell’area del rettangolo:

a = 1.000.000 / 841 = 1.189

Verifichiamo ora il rapporto tra i lati:

1.189 / 841 = 1,41379 ≈ √2

Abbiamo le dimensioni del foglio A0, da qui dividendo per due i lati lunghi abbiamo che A1 è 594 x 841, A2 è 420 x 594, A3 è 297 x 420 e il familiare A4 è 210 x 297 per il quale vele sempre

297 / 210 = 1,41428 ≈ √2

Esiste anche una serie B di dimensioni di fogli in cui un B è la media geometrica tra due A, ad esempio B1 è la media geometrica tra A0 e A1; B1 ha un’area di 0,707 m², quindi la misura del lato corto del B0 è esattamente un metro. Questa serie di fogli è usata nelle buste, nell’editoria e per i passaporti, che sono di dimensioni B7 (88 x 125).

Esiste inoltre una serie C molto usato nelle buste i cui fogli sono la media geometrica tra gli omologhi delle serie A e B, quindi un C4 sarà la media geometrica tra A4 e B4. Un C4 (229 × 324) è leggermente più grosso di un A4 (210 x 297) e leggermente più picolo di un B4 (250 × 353). Come conseguenza è possibile mettere un A4 in una busta C4, la quale può essere a sua volta infilata in una busta B4.

Tre Stati (USA, Canada e Filippine) non adottano comunemente ISO 216, ma un sistema di dimensioni arbitrarie non correlate tra loro: letter (250 × 353), legal (216 × 356) e tabloid (279 × 432). I rapporti tra le dimensioni di questi fogli non sono uniformi, quindi non è possibile passare facilmente da uno all’altro come per i formati ISO. La ragione per cui questo fogli hanno qeste dimensioni si perde spesso nelle nebbie della tradizione.

Ovviamente ci sono altre decine di standard di misure dei fogli di carta perché il bello degli standard è averne tanti tra cui scegliere.

Autore: Luigi Rosa

Consulente IT, sviluppatore, SysAdmin, cazzaro, e, ovviamente, geek.

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